题目内容

19．下列命题中不正确命题的个数是（　　）
①过空间任意一点有且仅有一个平面与已知平面垂直
②过空间任意一条直线有且仅有一个平面与已知平面垂直
③过空间任意一点有且仅有一个平面与已知的两条异面直线平行
④过空间任意一点有且仅有一条直线与已知平面垂直．
A．1B．2C．3D．4

分析 以正方体为载体，考查互相垂直的线和平面，能求出结果．

解答 解：考察正方体中互相垂直的线和平面．
对于①：过空间任意一点不是有且仅有一个平面与已知平面垂直，
如图中平面A1D和平面A1B与平面AC垂直；故①错；
对于②：过空间任意一条直线有且仅有一个平面与已知平面垂直，这是正确的．
如图中，已知平面A1D和平面A1B与平面AC垂直；故②正确；
对于③：过空间任意一点不是有且仅有一个平面与已知的两条异面直线平行，
如图中：过C1的与A1B1与AD都平行的平面就不存在；故③错；
对于④：过空间任意一点有且仅有一条直线与已知平面垂直是正确的，故④正确．
故选：B．

点评 本题考查命题真假的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意空间中线线、线面、面面间的位置关系的合理运用．

练习册系列答案
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9．《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑．在如图所示的阳马P-ABCD中，侧棱PD⊥底面ABCD，且PD=CD，点E是PC的中点，连接DE，BD，BE．
（1）证明：DE⊥平面PBC．
（2）试判断四面体EBCD是否为鳖臑，若是，写出其每个面的直角（只需写出结论）；若不是，请说明理由；
（3）记阳马P-ABCD的体积为V1，四面体EBCD的体积为V2，求$\frac{{V}_{1}}{{V}_{2}}$的值．
10．如图，是某班50名学生身高的频率分布直方图，那么身高在区间[150，170）内的学生人数为（　　）
A．16B．20C．22D．26
7．若f（x）是偶函数，它在[0，+∞）上是减函数，且f（lgx）＞f（1），则x的取值范围是（　　）
A．（$\frac{1}{10}$，1）B．（0，$\frac{1}{10}$）∪（1，+∞）C．（0，1）∪（10，+∞）D．（$\frac{1}{10}$，10）
14．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{{\sqrt{5}}}{5}$，且右准线方程为x=5．
（1）求椭圆方程；
（2）过椭圆右焦点F作斜率为1的直线l与椭圆C交于A，B两点，P为椭圆上一动点，求△PAB面积的最大值．
4．如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，M是A1B1的中点，则下列四个命题：
①直线BC与平面ABC1D1所成的角等于45°；
②四面体ABCD1在正方体六个面内的投影图形面积的最小值为$\frac{1}{2}$；
③点M到平面ABC1D1的距离是$\frac{1}{2}$；
④BM与CD1所成的角为$arcsin\frac{{\sqrt{10}}}{10}$
其中真命题的序号是①②④．
11．Sn是等差数列{an}的前n项和，如果a1+a5=6，那么S5的值是（　　）
A．10B．15C．25D．30
8．如图在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是等腰梯形，且PA⊥平面ABCD，AB=AD=CD=1，∠BAD=120°，PA=$\sqrt{3}$平行四边形T，Q，M，N的四个顶点分别在棱PC、PA、AB、BC的中点．
（1）求证：四边形TQMN是矩形；
（2）求四棱锥C-TQMN的体积．
9．计算：
（1）${（\frac{2}{3}）^{-2}}+{（-\sqrt{3}）^0}-{（\frac{27}{8}）^{\frac{2}{3}}}$；
（2）log43×log32-${2^{{{log}_2}3}}$．

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