Question

如图，三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，△ABC是正三角形，AA₁=AB=2，平面ACC₁A₁⊥平面ABC，∠A₁AC=60°．
（1）证明：A₁B⊥AC；
（2）求二面角B-A₁C₁-C的余弦值；
（3）设点N是平面ACC₁A₁内的动点，求BN+B₁N的最小值．

Answer 1

考点：用空间向量求平面间的夹角,直线与平面垂直的性质,点、线、面间的距离计算

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）由已知条件推导出△A₁AC是正三角形，取AC中点D，连结A₁D、BD，能推导出AC⊥平面A₁BD，由此能够证明A₁B⊥AC．
（2）由已知条件推导出∠BA₁D就是二面角B-A₁C₁-C的平面角，由此能求出二面角B-A₁C₁-C的余弦值；．
（3）以A为原点建立空间直角坐标系，利用向量法能求出BN+B₁N的最小值．

解答： （本小题满分14分）
（1）证明：∵AA₁=AB=2，△ABC是正三角形，
∴AC=AB=2，
∴AA₁=AC，
又∵∠A₁AC=60°，
∴△A₁AC是正三角形，
取AC中点D，连结A₁D、BD，则A₁D⊥AC，BD⊥AC
又∵A₁D∩BD=D，A₁D?平面A₁BD，BD?平面A₁BD，
∴AC⊥平面A₁BD，
又∵A₁B?平面A₁BD，
∴A₁B⊥AC．
（2）解：A₁C₁∥AC，由（1）知A₁B⊥AC，A₁D⊥AC，
∴A₁B⊥A₁C₁，A₁D⊥A₁C₁，
∴∠BA₁D就是二面角B-A₁C₁-C的平面角；
∵平面ACC₁A₁⊥平面ABC，平面ACC₁A₁∩平面ABC=AC，
A₁D?平面ACC₁A₁，A₁D⊥AC，
∴A₁D⊥平面ABC．
∵BD?平面ABC，
∴A₁D⊥BD．，
在Rt△A1BD 中， BD=

3

 ， A1D=

3

 ， A1B=

BD2+A1D2

=

6

∴cos∠BA1D=

BD

A1B

=

2

2

．
（3）解：延长BD至E使DE=BD，连结AE、CE、B₁E，
则B₁E就是BN+B₁N的最小值，
以A为原点建立如图所示的空间直角坐标系，
则点E的坐标为(

3

 ， 1 ， 0)，
B₁的坐标是(-

3

 ， 2 ， 

3

)，
∴B1E=

(- 3 - 3 )2+(2-1)2+( 3 -0)2

=4．
∴BN+B₁N的最小值是4．

点评：本题考查异面直线垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查两条线段和的最小值的求法，解题时要认真审题，注意等价转化思想的合理运用．