Question

已知数列{a_n}的首项a₁=2，前n项和为S_n，且-a₂，S_n，2a_n+1成等差．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）记b_n=

an

(an-1)(an+1-1)

，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

考点：数列的求和,等差数列的性质

专题：等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）2S_n=-a₂+2a_n+1⇒当n≥2时，2S_n-1=-a₂+2a_n，两式相减，可得

an+1

an

=2（n≥2），验证可得n=1时也满足

an+1

an

=2，从而知{a_n}是首项a₁=2，公比为2的等比数列，于是可得数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）利用裂项法易求b_n=

1

2n-1

-

1

2n+1-1

，从而可求T_n=1-

1

2n+1-1

．

解答： 解：（Ⅰ）∵2S_n=-a₂+2a_n+1，
∴当n≥2时，2S_n-1=-a₂+2a_n，
两式相减得2a_n=2a_n+1-2a_n（n≥2），
∴

an+1

an

=2；
又当n=1时，2a₁=-a₂+2a₂，得a₂=2a₁，
∴n=1时也满足

an+1

an

=2，
∴{a_n}是首项a₁=2，公比为2的等比数列，
∴a_n=2ⁿ．
（Ⅱ）∵b_n=

2n

(2n-1)(2n+1-1)

=

1

2n-1

-

1

2n+1-1

，
∴T_n=b₁+b₂+…+b_n
=（

1

21-1

-

1

22-1

）+（

1

22-1

-

1

23-1

）+…+（

1

2n-1

-

1

2n+1-1

）
=1-

1

2n+1-1

．

点评：本题考查数列的求和，着重考查等差关系的确定与裂项法求和，考查推理与运算能力，属于中档题．