Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且有a₁=2，3S_n=5a_n-4a_n-1+3S_n-1（n≥2）．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若b_n=（3n+2）a_n，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

考点：数列的求和,数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由3S_n=5a_n-4a_n-1+3S_n-1（n≥2），化为a_n=2a_n-1，利用等比数列的通项公式即可得出；
（2）b_n=（3n+2）a_n=（3n+2）•2^n-1，利用“错位相减法”、等比数列的前n项和公式即可得出．

解答： 解：（1）∵3S_n=5a_n-4a_n-1+3S_n-1（n≥2），
∴3a_n=5a_n-4a_n-1，化为a_n=2a_n-1，
∴数列{a_n}是等比数列，通项公式an=2n-1．
（2）b_n=（3n+2）a_n=（3n+2）•2^n-1．
数列{b_n}的前n项和T_n=5+8×2+11×2²+…+（3n+2）×2^n-1，
2T_n=5×2+8×2²+…+（3n-1）×2^n-1+（3n+2）×2ⁿ，
∴-T_n=5+3×2+3×2²+…+3×2^n-1-（3n+2）×2ⁿ=2+3×

2n-1

2-1

-（3n+2）×2ⁿ=3×2ⁿ-1-（3n+2）×2ⁿ=（1-3n）×2ⁿ-1，
∴T_n=（3n-1）×2ⁿ+1．

点评：本题考查了等比数列的通项公式及前n项和公式、“错位相减法”、递推式的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．