题目内容
在平面直角坐标系xoy中，已知点A（0，1），B点在直线y=-1上，M点满
∥
，
•
=
•
，M点的轨迹曲线C
（1）求曲线C的方程；
（2）斜率为1的直线l过原点O，求l被曲线C截得的弦长．
| MB |
| OA |
| MA |
| AB |
| MB |
| BA |
（1）求曲线C的方程；
（2）斜率为1的直线l过原点O，求l被曲线C截得的弦长．
考点：轨迹方程,直线与圆锥曲线的关系
专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程
分析：（1）设M（x，y），由已知可得：B（x，-1），A（0，1），
=（-x，1-y），
=（0，-1-y），
=（x，-2），利用
•
=
•
，即可得出．
（2）设直线与曲线C相交于点E（x1，y1），F（x2，y2），直线l的方程为y=x．与曲线C的方程联立即可得出．
| MA |
| MB |
| AB |
| MA |
| AB |
| MB |
| BA |
（2）设直线与曲线C相交于点E（x1，y1），F（x2，y2），直线l的方程为y=x．与曲线C的方程联立即可得出．
解答：
解：（1）设M（x，y），由已知可得：B（x，-1），A（0，1），
=（-x，1-y），
=（0，-1-y），
=（x，-2），
∵
•
=
•
，∴（
+
）•
=0，
∴（-x，-2y）•（x，-2）=0，化为-x2+4y=0，
∴y=
x2．
（2）设直线与曲线C相交于点E（x1，y1），F（x2，y2）．
直线l的方程为y=x代入y=
x2，解得
或
．
∴|EF|=4
．
| MA |
| MB |
| AB |
∵
| MA |
| AB |
| MB |
| BA |
| MA |
| MB |
| AB |
∴（-x，-2y）•（x，-2）=0，化为-x2+4y=0，
∴y=
| 1 |
| 4 |
（2）设直线与曲线C相交于点E（x1，y1），F（x2，y2）．
直线l的方程为y=x代入y=
| 1 |
| 4 |
|
|
∴|EF|=4
| 2 |
点评：本题考查了直线与圆相交弦长问题、向量的坐标运算与数量积运算，考查了计算能力，属于基础题．
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