Question

已知

p

=(sinA，cosA)，

q

=(

3

cosA，-cosA)(其中

q

≠

0

)．
（1）若0＜A＜

π

2

，方程

p

•

q

= t-

1

2

（t∈R）有且仅有一解，求t的取值范围；
（2）设△ABC的内角A，B，C的对应边分别是a，b，c，且a=

3

2

，若

p

∥

q

，求b+c的取值范围．

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算,平面向量共线（平行）的坐标表示

专题：平面向量及应用

分析：（1）依题意可得t=

p

•

q

+

1

2

=sin（2A-

π

6

），根据-

π

6

＜2A-

π

6

＜

5π

6

，t=

p

•

q

+

1

2

 有唯一解，可得t的范围．
（2）由

p

∥

q

(其中

q

≠

0

) 求得A=

2π

3

．再根据正弦定理求得 b+c=sinB+sinC=sin(B+

π

3

) (0＜B＜

π

3

)，结合

π

3

＜B+

π

3

＜

2π

3

，可得b+c的取值范围．

解答： 解：（1）依题意可得t=

p

•

q

+

1

2

=

3

sinAcosA-cos²A=

3

2

sin2A-

1

2

cos2A=sin（2A-

π

6

），
∵A∈(0，

π

2

)，∴-

π

6

＜2x-

π

6

＜

5π

6

．
再根据t=

p

•

q

+

1

2

 有唯一解，可得 -

1

2

＜t≤

1

2

或t=1．
（2）由

p

∥

q

(其中

q

≠

0

)得

sinA

3 cosA

=-1，即tanA=-

3

，∴A=

2π

3

．
再根据正弦定理可得2R=

a

sinA

=1，∴b+c=sinB+sinC=sin(B+

π

3

) (0＜B＜

π

3

)，
由

π

3

＜B+

π

3

＜

2π

3

，可得

3

2

＜b+c≤1．

点评：本题主要考查两个向量的数量积公式，正弦函数的图象特征，正弦函数的定义域和值域，正弦定理，属于中档题．