Question

已知圆C：ρ=cosα+sinα，直线L：ρcos（α+

π

4

）=2

2

，求过点C且与直线L垂直的极坐标方程

 

．

Answer 1

考点：简单曲线的极坐标方程

专题：坐标系和参数方程

分析：圆C：ρ=cosα+sinα，化为ρ²=ρcosα+ρsinα，把

x=ρcosα y=ρsinα

代入可得(x-

1

2

)2+(y-

1

2

)2=

1

2

．可得圆心C(

1

2

，

1

2

)．直线L：ρcos（α+

π

4

）=2

2

，展开化为x-y-4=0．设过点C且与直线L垂直的直线的方程为x+y+m=0，把圆心C(

1

2

，

1

2

)代入解得m，化为极坐标方程即可．

解答： 解：圆C：ρ=cosα+sinα，化为ρ²=ρcosα+ρsinα，∴x²+y²=x+y，配方为(x-

1

2

)2+(y-

1

2

)2=

1

2

．可得圆心C(

1

2

，

1

2

)．
直线L：ρcos（α+

π

4

）=2

2

，展开为

2

2

(ρcosα-ρsinα)=2

2

，化为x-y-4=0．
设过点C且与直线L垂直的直线的方程为x+y+m=0，把圆心C(

1

2

，

1

2

)代入可得

1

2

+

1

2

+m=0，解得m=-1．
∴过点C且与直线L垂直的直线的方程为x+y-1=0，其极坐标方程为ρcosθ+ρsinθ-1=0．
故答案为：ρcosθ+ρsinθ-1=0．

点评：本题考查了直线与圆的极坐标方程化为直角坐标方程、相互垂直的直线斜率之间的关系，考查了计算能力，属于基础题．