Question

已知集合M={x∈R，|ax²-3x+2=0，a∈R}．
（1）若集合M中只有一个元素，求a的值，并求出这个元素；
（2）若集合M中最多只有一个元素，求a的取值范围．

Answer 1

考点：集合的表示法

专题：集合

分析：（1）集合的属性是一个关于x的方程，且二次项的系数是字母，故M中只有一个元素时要考虑二次项系数为0的情况，此题应分为两类求解，当a=0时与当a≠0时，分别转化求出求a的值；
（2）M中至多有一个元素，限制词中的至多说明M可能只有一个元素或者没有元素，故分为两类求解，由（1）知M中只有一个元素时参数的取值范围，再求出M为空集时参数的取值范围，取两部分的并集即可求出a的取值范围．

解答： 解：（1）由题意，本题分为两类求解
当a=0时，M中只有一个元素，这个元素为

3

2

； …（3分）
当a≠0时，令△=9-8a=0，解得a=

9

8

，M中只有一个元素，这个元素为

4

3

．…（6分）
（2）M中只有一个元素说明M有一个元素或者没有元素，
若M中只有一个元素，由（1）可知：a=0或a=

9

8

…（8分）
若M中没有元素，即M=∅，则

a≠0 △=9-8a＜0

．
解得a＞

9

8

…（11分）
综上，a=0或a≥

9

8

．…（12）

点评：本题考查集合中的参数取值问题，解题的关键是理解题意，将问题进行正确转化，此类题易因为理解不全面，漏掉特殊情况致错，（1）中易漏掉a=0时的情况，（2）中易漏掉空集这种情况，解题时要注意考虑全面，本题考查了推理判断的能力及计算能力，是集合中综合性较强的题，即考查了集合的概念，也考查了二次函数的性质．