Question

已知不等式x|x-a|＜2，对一切x∈[0，2]成立，则实数a的取值范围

 

．

Answer 1

考点：其他不等式的解法

专题：计算题,函数的性质及应用,不等式的解法及应用

分析：讨论x=0，0＜x≤2，运用绝对值不等式的解集，以及参数分离，分别求出x-

2

x

、x+

2

x

的最值，即可得到a的范围．

解答： 解：当x=0时，0＜2恒成立；
当0＜x≤2时，|x-a|＜

2

x

，
即为-

2

x

＜x-a＜

2

x

，即x-

2

x

＜a＜x+

2

x

，
由x-

2

x

的导数1+

2

x2

＞0，则（0，2]为增区间，
x=2时，取得最大值2-1=1，即有a＞1；
由x+

2

x

≥2

2

，当且仅当x=

2

∈（0，2]，取得最小值2

2

，
即有a＜2

2

．
综上可得，1＜a＜2

2

．
故答案为：（1，2

2

）．

点评：本题考查绝对值不等式的解法和运用，考查不等式恒成立问题转化为求函数的最值问题，考查基本不等式和函数的单调性的运用，考查运算能力，属于中档题．