Question

14．已知函数f（x）=ax+$\frac{1}{x}$．
（1）从区间（-2，2）内任取一个实数a，设事件A表示“函数y=f（x）-2在区间（0，+∞）上有两个不同的零点”，求事件A发生的概率；
（2）若连续掷两次一颗均匀的骰子（骰子六个面上标注的点数分别为1，2，3，4，5，6）得到的点数分别为a和b，记事件B表示“f（x）＞b在x∈（0，+∞）上恒成立”，求事件B发生的概率．

Answer 1

分析 （1）由已知得ax²-2x+1=0有两个不同的正根x₁和x₂，由此利用根的判别式、韦达定理能求出0＜a＜1，由此能求出p（A）．
（2）由已知a＞0，x＞0，所以f（x）＞b，即ax²-bx+1＞0在x∈（0，+∞）上恒成立，故需且只需△=b²-4a＜0（*）．由此利用列举法能求出事件B发生的概率P（B）．

解答 解：（1）因为函数y=f（x）-2在区间（0，+∞）上有两个不同的零点，
所以f（x）-2=0，即ax²-2x+1=0有两个不同的正根x₁和x₂，
所以$\left\{\begin{array}{l}{a≠0}\\{{x}_{1}+{x}_{2}=\frac{2}{a}＞0}\\{{x}_{1}{x}_{2}=\frac{1}{a}＞0}\\{△=4-4a＞0}\end{array}\right.$，解得0＜a＜1，所以p（A）=$\frac{1-0}{2-（-2）}$=$\frac{1}{4}$．
（2）由已知a＞0，x＞0，所以f（x）＞b，即ax²-bx+1＞0在x∈（0，+∞）上恒成立，
故需且只需△=b²-4a＜0（*）．
当a=1时，b=1适合（*）；当a=2时，b=1，2适合（*）；
当a=3，4时，b=1，2，3均适合（*）；
当a=5，6时，b=1，2，3，4适合（*）．
∴满足（*）的基本事件个数为m=1+2+6+8=17．
而基本事件总数为n=6×6=36，
所以事件B发生的概率P（B）=$\frac{m}{n}=\frac{17}{36}$．

点评 本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意几何概型、列举法的合理运用．