Question

5．如图，已知平面α，β，且α∩β=AB，PC⊥α，PD⊥β，C，D是垂足．
（1）求证：AB⊥CD；
（2）若PC=PD=1，CD=$\sqrt{2}$，证明：α⊥β．

Answer 1

分析 （1）推导出B⊥PC，AB⊥PD从而AB⊥平面PCD，由此能证明AB⊥CD．
（2）过C作CO⊥AB，连结DO，则∠COD是二面角α-AB-β的平面角，推导出PC⊥PD，由此能证明α⊥β．

解答 证明：（1）∵平面α，β，且α∩β=AB，PC⊥α，PD⊥β，C，D是垂足，
∴AB⊥PC，AB⊥PD，
∵PC∩PD=P，
∴AB⊥平面PCD，
∵CD?平面PCD，∴AB⊥CD．
（2）过C作CO⊥AB，连结DO，则DO⊥AB，
∴∠COD是二面角α-AB-β的平面角，
∵PC=PD=1，CD=$\sqrt{2}$，
∴PC²+PD²=CD²，∴PC⊥PD，
∴∠CPD=90°，∴∠COD=90°，
∴α⊥β．

点评 本题考查线线垂直的证明，考查面面垂直的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．