Question

14．已知$\overrightarrow a$与$\overrightarrow b$的夹角为120⁰，且|${\overrightarrow a}$|=2，|${\overrightarrow b}$|=3．
（1）求$\overrightarrow a$•$\overrightarrow b$和|3$\overrightarrow a$+2$\overrightarrow b}$|；
（2）当x为何值时，x$\overrightarrow a$-$\overrightarrow b$与$\overrightarrow a$+3$\overrightarrow b$垂直？
（3）求$\overrightarrow a$与3$\overrightarrow a+2\overrightarrow b$的夹角．

Answer 1

分析 （1）根据向量数量积的定义和应用即可求$\overrightarrow a$•$\overrightarrow b$和|3$\overrightarrow a$+2$\overrightarrow b}$|；
（2）根据向量垂直转化为（x$\overrightarrow a$-$\overrightarrow b$）•（$\overrightarrow a$+3$\overrightarrow b$）=0，解方程即可．
（3）根据向量数量积的应用即可求$\overrightarrow a$与3$\overrightarrow a+2\overrightarrow b$的夹角．

解答 解：（1）∵$\overrightarrow a$与$\overrightarrow b$的夹角为120⁰，且|${\overrightarrow a}$|=2，|${\overrightarrow b}$|=3．
∴$\overrightarrow a•\overrightarrow b=|\overrightarrow a|•|\overrightarrow b|•cos{120°}=2×3×（-\frac{1}{2}）=-3$，
∵$|3\overrightarrow a+2\overrightarrow b{|^2}=9|\overrightarrow a{|^2}+4|\overrightarrow b{|^2}+12\overrightarrow a•\overrightarrow b=36$，
∴$|3\overrightarrow a+2\overrightarrow b|=6$．
（2）若x$\overrightarrow a$-$\overrightarrow b$与$\overrightarrow a$+3$\overrightarrow b$垂直，
则$（x\overrightarrow a-\overrightarrow b）•（\overrightarrow a+3\overrightarrow b）=4x-27+（3x-1）•（-3）=-24-5x=0$，
∴$x=-\frac{24}{5}$．
（3）设$\overrightarrow a$与3$\overrightarrow a+2\overrightarrow b$的夹角为θ，则$\overrightarrow a$•（3$\overrightarrow a+2\overrightarrow b$）=3${\overrightarrow a}$²+2$\overrightarrow a$•${\overrightarrow b}$=12-6=6，
则$cosθ=\frac{\overrightarrow a•（3\overrightarrow a+2\overrightarrow b）}{{|\overrightarrow{a|}•|3\overrightarrow a+2\overrightarrow b|}}=\frac{12-6}{2×6}=\frac{1}{2}$，
∴$\overrightarrow a$与3$\overrightarrow a+2\overrightarrow b$的夹角θ=60°．

点评 本题主要考查向量数量积的定义以及应用，根据相应的公式进行转化是解决本题的关键．