Question

4．已知函数f（x）=-x⁴+ax³+$\frac{1}{2}$bx²的单调递减区间为（0，$\frac{1}{2}$），（1，+∞）．
（1）求实数a，b的值；
（2）试求当x∈[0，2]时，函数f（x）的最大值．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，根据关于导函数的方程，求出a，b的值即可；
（2）求出函数导数，列出表格，求出函数的单调区间，从而求出在闭区间上的最大值即可．

解答 解：（1）f'（x）=-4x³+3ax²+bx=-x（4x²-3ax-b），…（2分）
∵函数f （x）的单调递减区间为（0，$\frac{1}{2}$），（1，+∞），
∴方程-x（4x²-3ax-b）=0的根为x₁=0，x₂=$\frac{1}{2}$，x₃=1，…（3分）
即4x²-3ax-b=0的根为x₂=$\frac{1}{2}$，x₃=1，
于是$\frac{3a}{4}$=$\frac{1}{2}$+1，-$\frac{b}{4}$=$\frac{1}{2}$，解得a=2，b=-2，…（5分）
（2）由（1）知，f （x）=-x⁴-2x³+x²，f'（x）=-2x（2x-1）（x-1），

x	（-∞，0）	0	（0，$\frac{1}{2}$）	$\frac{1}{2}$	（$\frac{1}{2}$，1）	1	（1，+∞）
f'（x）	+	0	-	0	+	0	-
f （x）	↗	极大值	↘	极小值	↗	极大值	↘

…（7分）
∴f （x）在[0，$\frac{1}{2}$]上单调递减，在[$\frac{1}{2}$，1]上单调递增，在[1，2]上单调递减，
又∵f （0）=0，f （1）=0，
∴f （x）在[0，2]有最大值0．…（10分）

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用，是一道中档题．