Question

4．过⊙O外一点P作⊙O的两条割线PAB，PMN，其中PMN过圆心O，过P作再作⊙O的切线PT，切点为T．已知PM=MO=ON=1．
（Ⅰ）求切线PT的长；
（Ⅱ）求$\frac{AM•BM}{AN•BN}$时值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用切割线定理求切线PT的长；
（Ⅱ）证明△PAN∽△PBM，△PAM∽△PBN，即可求$\frac{AM•BM}{AN•BN}$时值．

解答 解：（Ⅰ）∵PM=MO=ON=1，
∴PT²=PM•PN=3，
∴PT=$\sqrt{3}$；
（Ⅱ）∵∠ABM=∠ANM，∠BPM=∠NPA，
∴△PAN∽△PBM，
∴$\frac{BM}{AN}=\frac{PB}{PN}$①，
∵∠PAM=∠PNB，∠PMA=∠PBN，
∴△PAM∽△PBN，
∴$\frac{AM}{BN}$=$\frac{PA}{PN}$②
由①②，可知$\frac{AM•BM}{AN•BN}$=$\frac{PA•BP}{P{N}^{2}}$=$\frac{PM•PN}{P{N}^{2}}$=$\frac{1}{3}$．

点评 本题考查切割线定理，考查三角形相似的判定与性质，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．