题目内容
若过点P（2，1）的直线l与抛物线y2=4x交A，B两点，且
=
（
+
），则直线l的方程 ．
| OP |
| 1 |
| 2 |
| OA |
| OB |
考点：直线与圆锥曲线的关系
专题：向量与圆锥曲线
分析：由题意设出直线方程，和抛物线方程联立，化为关于x的一元二次方程，利用根与系数关系得到A，B两点横纵坐标的和，代入
=
（
+
）得到k的值，则直线方程可求．
| OP |
| 1 |
| 2 |
| OA |
| OB |
解答：
解：由题意设过点P（2，1）的直线的斜率为k（k≠0），
则直线方程为y=k（x-2）+1，代入抛物线方程y2=4x得：
k2x2-（4k2-2k+4）x+（1-2k）2=0．
设点A（x1，y1），B（x2，y2），
则x1+x2=
．
由
=
（
+
），得
2
=
+
，
则2（2，1）=（4，2）=（x1+x2，y1+y2），
∴x1+x2=4．
∴x1+x2=
=4，解得k=2，
∴直线方程为y=2（x-2）+1，即2x-y-3=0．
故答案为：2x-y-3=0．
则直线方程为y=k（x-2）+1，代入抛物线方程y2=4x得：
k2x2-（4k2-2k+4）x+（1-2k）2=0．
设点A（x1，y1），B（x2，y2），
则x1+x2=
| 4k2-2k+4 |
| k2 |
由
| OP |
| 1 |
| 2 |
| OA |
| OB |
2
| OP |
| OA |
| OB |
则2（2，1）=（4，2）=（x1+x2，y1+y2），
∴x1+x2=4．
∴x1+x2=
| 4k2-2k+4 |
| k2 |
∴直线方程为y=2（x-2）+1，即2x-y-3=0．
故答案为：2x-y-3=0．
点评：本题考查了直线与圆锥曲线的关系，考查了平面向量的坐标运算，考查了一元二次方程的根与系数关系，是中档题．
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| ||
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