Question

设函数f（x）的定义域为D，如果?x∈D，存在唯一的y∈D，使

f(x)+f(y)

2

=C（C为常数）成立．则称函数f（x）在D上的“均值”为C．已知四个函数：①y=x³（x∈R）；②y=(

1

2

)x（x∈R）；③y=lnx（x∈（0，+∞））；④y=

x

上述四个函数中，满足所在定义域上“均值”为1的函数是

 

．（填入所有满足条件函数的序号）

Answer 1

考点：函数与方程的综合运用

专题：计算题,函数的性质及应用

分析：根据题意，求各个函数的单调性与值域，从而确定函数是否满足条件．

解答： 解：∵y=x³在R上是增函数，
且其值域为R，
∴对?x∈R，若

f(x)+f(y)

2

=1，
则f（y）=2-f（x）有且只有一个y∈R成立；故①正确；
∵y=(

1

2

)x的值域为（0，+∞），
∴若x＜-1，则f（y）=2-f（x）＜0，故没有y∈R使之成立；
故②不正确；
∵y=lnx在（0，+∞）上单调递增，且值域为R，
∴对?x∈R，f（y）=2-f（x）有且只有一个y∈R成立；故③正确；
∵y=

x

的值域为[0，+∞），且单调递增，
故当x＞4时，则f（y）=2-f（x）＜0，故没有y∈[0，+∞）使之成立；
故④不成立．
故答案为：①③．

点评：本题考查了学生对新知识的接受能力及应用能力，同时考查了函数的值域与函数的单调性的应用，属于中档题．