Question

已知数列{a_n}的首项a₁=

3

5

，a_n+1=

3an

2an+1

，请证明a₁+a₂+…+a_n＞

n2

n+1

（用数学归纳法）

Answer 1

考点：数学归纳法,数列的求和

专题：点列、递归数列与数学归纳法

分析：由a_n+1=

3an

2an+1

，得

1

an+1

=

2

3

+

1

3an

，即

1

an+1

-1=

1

3

（

1

an

-1），又

1

a1

-1=

5

3

-1=

2

3

，故（

1

an

-1）是以

2

3

为首项，

1

3

为公比的等比数列．求得a_n=

3n

3n+2

，再利用数学归纳法即可证明．

解答： 解：∵a_n+1=

3an

2an+1

，∴

1

an+1

=

2

3

+

1

3an

，
∴

1

an+1

-1=

1

3

（

1

an

-1），又

1

a1

-1=

5

3

-1=

2

3

，
∴（

1

an

-1）是以

2

3

为首项，

1

3

为公比的等比数列．
∴

1

an

-1=

2

3

•

1

3n-1

=

2

3n

，
∴a_n=

3n

3n+2

，
用数学归纳法证明如下：
①当n=1时，由题意可知，左边=a₁=

3

5

，右边=

1

2

，命题成立，
②假设当n=k（k≥1，k∈N）时命题成立，即a₁+a₂+…+a_k＞

k2

k+1

，
那么，当n=k+1时，a₁+a₂+…+a_k+a_k+1＞

k2

k+1

+

3k+1

3k+1+2

＞

(k+1)2

(k+1)+1

，也就说，当n=k+1时命题也成立，
综上所述，a₁+a₂+…+a_n＞

n2

n+1

．

点评：本题考查数列递推式，考查数列的通项，考查数学归纳法的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．