Question

正项数列{a_n}满足：它的平方数列{a_n²}是公差为1，第4项为4的等差数列．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若数列b_n=

1

an+1+an

的前n项和为S_n，求S_n．

Answer 1

考点：数列的求和,等差数列的性质

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）根据条件确定a₁，构造等差数列即可求数列{a_n}的通项公式；
（2）求出b_n的通项公式，利用分母有理化，进行求和．

解答： 解：（1）∵数列{a_n²}是公差为1，第4项为4的等差数列，
∴a₄²=a₁²+（4-1）×1=4，即a₁²=1，
即数列{

a

2 n

}是以1为首项，1为公差的等差数列，则

a

2 n

=1+（n-1）=n，
即a_n=±

n

．
∵正项数列{a_n}，
∴a_n=

n

．
（2）b_n=

1

an+1+an

=

1

n+1 + n

=

n+1

-

n

，
则S_n=（

2

-1）+（

3

-

2

）+…+

n+1

-

n

=

n+1

-1．

点评：本题主要考查等差数列的通项公式，以及利用分母有理化进行数列求和，考查学生的计算能力．