Question

如图，已知直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC⊥BC，D为AB的中点，AC=BC=BB₁．
（Ⅰ）求证：BC₁∥平面CA₁D；
（Ⅱ）求证：BC₁⊥AB₁．

Answer 1

考点：直线与平面平行的判定,空间中直线与直线之间的位置关系,直线与平面垂直的性质

专题：空间位置关系与距离

分析：（Ⅰ）连接AC₁与CA₁相交于O，连DO，根据已知可判断出AA₁C₁C是正方形，进而可知AO=OC₁，又通过D为AB的中点，判断出OD∥BC₁，利用线面判定定理证明出EF∥平面CA₁D，
（Ⅱ）连接B₁C，根据已知推断出BB₁C₁C是正方形，进而可知B₁C⊥BC₁，由因为AC⊥BC，且CC₁⊥AC，推断出AC⊥平面BB₁C₁C，则AC⊥BC₁，根据AC与B₁C相交，进而判断出BC₁⊥平面AB₁C，最后利用线面垂直的性质可推断出BC₁⊥AB₁．

解答： （Ⅰ）证明：连接AC₁与CA₁相交于O，连DO
∵AC=BC=BB₁．
∴AA₁C₁C是正方形，
∴AO=OC₁，
又∵D为AB的中点，
∴OD∥BC₁，
∵BC₁?平面CA₁D，OD?平面CA₁D，
∴BC₁∥平面CA₁D，
（Ⅱ）连接B₁C，
∵BB₁C₁C是正方形，
∴B₁C⊥BC₁，
∵AC⊥BC，且CC₁⊥AC，
∴AC⊥平面BB₁C₁C，
∴AC⊥BC₁，
∵AC与B₁C相交，
∴BC₁⊥平面AB₁C，
∴BC₁⊥AB₁．

点评：本题主要考查了线面平行的判定，线面垂直的性质等知识．注重了对学生基础知识的考查．