Question

函数f（x）=e^xsinx在区间[0，

π

2

]上的值域为

 

．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值

专题：导数的综合应用

分析：由已知得f′（x）=e^x（sinx+cosx），当x∈[0，

π

2

]时，f′（x）＞0，从而函数f（x）=e^xsinx在区间[0，

π

2

]上单调递增，由此能求出函数f（x）=e^xsinx在区间[0，

π

2

]上的值域．

解答： 解：∵f（x）=e^xsinx，
∴f′（x）=e^x（sinx+cosx），
∵x∈[0，

π

2

]，∴f′（x）＞0，
∴函数f（x）=e^xsinx在区间[0，

π

2

]上单调递增，
∴f（x）_min=f（0）=0，
f(x)max=f(

π

2

)=e

π

2

，
∴函数f（x）=e^xsinx在区间[0，

π

2

]上的值域为[0，e

π

2

]．
故答案为：[0，e

π

2

]．

点评：本题考查函数的值域的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意导数性质的合理运用．