Question

已知定义在区间（0，+∞）上的函数f（x）满足f（

x1

x2

）=f（x₁）-f（x₂），且当x＞1时，f（x）＜0．
（1）求f（1）的值；
（2）判断f（x）的单调性；
（3）若f（3）=-1，求f（x）在[2，9]上的最小值．

Answer 1

考点：抽象函数及其应用,函数单调性的判断与证明,函数的最值及其几何意义

专题：计算题,函数的性质及应用

分析：（1）由条件可令x₁=x₂，得f（1）=0；
（2）令x₁＞x₂＞0，则

x1

x2

＞1，由条件即可得到f（x₁）＜f（x₂），由单调性的定义即可得到；
（3）由于f（3）=-1，则f（

9

3

）=f（9）-f（3），即可求得f（9），再由单调性，即可得到最小值．

解答： 解：（1）由于函数f（x）满足f（

x1

x2

）=f（x₁）-f（x₂），
则令x₁=x₂，得f（1）=0；
（2）令x₁＞x₂＞0，则

x1

x2

＞1，由当x＞1时，f（x）＜0，
得f（

x1

x2

）=f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂），
则f（x）在（0，+∞）上为减函数；
（3）由于f（3）=-1，则f（

9

3

）=f（9）-f（3），
即f（9）=2f（3）=-2．
由（2）得f（x）在[2，9]上递减，
则f（x）在[2，9]上的最小值为f（9）=-2．

点评：本题考查抽象函数及运用，考查函数的单调性的判断，以及应用求最值，属于中档题．