题目内容

已知关于x的方程
x
a
+
b
x
=1，其中a，b为实数．
（1）若x=1-
3
i是该方程的根，求a，b的值；
（2）当
b
a
＞
1
4
且a＞0时，证明：该方程没有实数根．
考点：反证法与放缩法,函数的零点与方程根的关系,复数代数形式的混合运算
专题：推理和证明
分析：（1）把x=1-
3
i代入方程，利用复数相等的充要条件列出方程组，即可求a，b的值；
（2）化简原方程为二次函数的形式，利用反证法，假设方程有实数根，通过韦达定理，结合
b
a
＞
1
4
且a＞0，推出矛盾结论，即可证明：该方程没有实数根．
解答： 解：（1）将x=1-
3
i代入
x
a
+
b
x
=1，化简得(
1
a
+
b
4
)+(
3
4
b-
3
a
)i=1
所以
1
a
+
b
4
=1
3
4
b-
3
a
=0
所以a=b=2…（6分）
（2）证明：原方程化为x2-ax+ab=0
假设原方程有实数解，那么△=（-a）2-4ab≥0即a2≥4ab
因为a＞0，所以
b
a
≤
1
4
，这与题设
b
a
＞
1
4
矛盾
所以假设错误，原方程有实数根正确．…（12分）
点评：本题考查复数方程的应用复数相等，以及反证法证明问题的基本方法，考查逻辑推理能力以及计算能力．
练习册系列答案
相关题目
用反证法证明命题：“一个三角形中不能有两个直角”的过程归纳为以下三个步骤：
①∠A+∠B+∠C=90°+90°+∠C＞180°，这与三角形内角和为180°相矛盾，则∠A=∠B=90°不成立；
②所以一个三角形中不能有两个直角；
③假设∠A，∠B，∠C中有两个角是直角，不妨设∠A=∠B=90°．
正确顺序的序号排列为
 
．
在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，E是线段OD的中点．若
AC
=
a
，
BD
=
b
，则
AE
（　　）
A、
1
4
a
+
1
2
b
B、
2
3
a
+
1
3
b
C、
1
2
a
+
1
4
b
D、
1
3
a
+
2
3
b
已知
a
=（1-cosx，sinx），
b
=（1+cosx，cosx）
（Ⅰ）若
a
•
b
=1，求x的值
（Ⅱ） 若f（x）=
a
•
b
+cosx（a-sinx）+1，x∈[
π
6
，
π
3
]且f（x）≤0恒成立，求a的取值范围？
下列四个函数中，是奇函数且在区间（-1，0）上为减函数的是（　　）
A、y=（
1
2
）|x|
B、y=
x-4
2-x
C、y=log2|x|
D、y=-x3
设数列{an}的前n项和为Sn，且满足Sn=n-an，n∈N*．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设cn=-2nan+2n，数列{cn}的前n项和为Tn，求证：Tn＜4．
函数f（x）=exsinx在区间[0，
π
2
]上的值域为
 
．
定义域为R的偶函数f（x）满足对?x∈R，有f（x+2）=f（x）+f（1），且当x∈[2，3]时，f（x）=-2x2+12x-18，若函数y=f（x）-loga（|x|+1）在（0，+∞）上至少有三个零点，则a的取值范围是（　　）
A、（0，
2
2
）
B、（0，
3
3
）
C、（0，
5
5
）
D、（0，
6
6
）
设|
a
|=4，|
b
|=3，夹角为60°，则|
a
+
b
|等于（　　）
A、37
B、13
C、
37
D、
13

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