Question

对于给定数列{c_n}，如果存在实常数p，q使得c_n+1=pc_n+q对于任意n∈N^*都成立，我们称数列{c_n}是“线性数列”．
（1）若a_n=2n，b_n=3•2ⁿ，n∈N^*，数列{a_n}、{b_n}是否为“线性数列”？若是，指出它对应的实常数p&，q，若不是，请说明理由；
（2）证明：若数列{a_n}是“线性数列”，则数列{a_n+a_n+1}也是“线性数列”；
（3）若数列{a_n}满足a₁=2，a_n+a_n+1=3t•2ⁿ（n∈N^*），t为常数．求数列{a_n}前n项的和．

Answer 1

考点：数列的求和,数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）a_n=2n，则a_n+1=a_n+2，n∈N^*，可得数列{a_n}是“线性数列”，对应的实常数分别为1，2．同理数列{b_n}是“线性数列”．
（2）利用“线性数列”的定义即可证明；
（3）对n分奇数与偶数讨论，利用等比数列的前n项和公式即可得出．

解答： （1）解：∵a_n=2n，则a_n+1=a_n+2，n∈N^*，
∴数列{a_n}是“线性数列”，对应的实常数分别为1，2．
∵bn=3•2n，则有b_n+1=2b_n，n∈N^*，
∴数列{b_n}是“线性数列”，对应的实常数分别为2，0．
（2）证明：若数列{a_n}是“线性数列”，则存在实常数p，q，
使得a_n+1=pa_n+q对于任意n∈N^*都成立，
且有a_n+2=pa_n+1+q对于任意n∈N^*都成立，
因此（a_n+1+a_n+2）=p（a_n+a_n+1）+2q对于任意n∈N^*都成立，
故数列{a_n+a_n+1}也是“线性数列”．
对应的实常数分别为p，2q． 
（3）解：∵an+an+1 =3t•2n (n∈N*)，
当n为偶数时，S_n=（a₁+a₂）+（a₃+a₄）+…+（a_n-1+a_n）
=3t•2+3t•2²+…3t•2^n-1
=3t(2+22+…+2n-1)=3t•

2(1-4 n 2 )

1-4

=t•2n+1-2t．
当n为奇数时，S_n=a₁+（a₂+a₃）+（a₄+a₅）+…+（a_n-1+a_n）
=2+3t•2²+3t•2⁴+…+3t•2^n-1=2+3t•（2²+2⁴+…+2^n-1）
=2+3t•

4(1-4 n-1 2 )

1-4

=t•2n+1-4t+2．
故数列{a_n}前n项的和Sn=

t•2n+1-2t，n为偶数 t•2n+1-4t+2，n为奇数

…．

点评：本题考查了线性数列”的定义、等比数列的前n项和公式，考查了分类讨论的思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．