Question

函数f（x）=sin2x+2

3

cos²x-

3

，函数g（x）=mcos（2x-

π

6

）-

3

2

m+2（m＞0），若对任意x₁∈[0，

π

4

]，总存在x₂∈[0，

π

4

]，使得g（x₁）=f（x₂）成立，则实数m的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用

专题：综合题,三角函数的图像与性质

分析：由x₁∈[0，

π

4

]，x₂∈[0，

π

4

]，可求得f（x）∈[1，2]，g（x）∈[-m+2，-

1

2

m+2]，进而由对任意x₁∈[0，

π

4

]，总存在x₂∈[0，

π

4

]，使得g（x₁）=f（x₂）成立，可得到关于m的不等式组，解之可求得实数m的取值范围．

解答： 解：∵f（x）=sin2x+2

3

cos²x-

3

=sin2x+

3

cos2x=2sin（2x+

π

3

），
当x∈[0，

π

4

]，2x+

π

3

∈[

π

3

，

5π

6

]，
∴2sin（2x+

π

3

）∈[1，2]，
∴f（x）∈[1，2]，
对于g（x）=mcos（2x-

π

6

）-

3

2

m+2（m＞0），2x-

π

6

∈[-

π

6

，

π

3

]，
mcos（2x-

π

6

）∈[

m

2

，m]，
∴g（x）∈[-m+2，-

1

2

m+2]，
若对任意x₁∈[0，

π

4

]，总存在x₂∈[0，

π

4

]，使得g（x₁）=f（x₂）成立，
则-m+2≥1，-

1

2

m+2≤2，
解得实数m的取值范围是：[0，1]，
故答案为：[0，1]

点评：本题考查两角和与差的正弦函数，着重考查三角函数的性质的运用，考查二倍角的余弦，解决问题的关键是理解对任意x₁∈[0，

π

4

]，总存在x₂∈[0，

π

4

]，使得g（x₁）=f（x₂）成立的含义，属于难题．