Question

9．在平行四边形ABCD 中，$∠A=\frac{π}{3}$，边AB、AD长分别为2、1，若E、F分别是边BC、CD上的点，且满足$\frac{{|{\overrightarrow{CE}}|}}{{|{\overrightarrow{CB}}|}}=\frac{{|{\overrightarrow{DF}}|}}{{|{\overrightarrow{DC}}|}}$，则$\overrightarrow{AE}•\overrightarrow{AF}$的取值范围是[2，5]．

Answer 1

分析 设CE=x，则DF=2x，用$\overrightarrow{AB}，\overrightarrow{AD}$表示出$\overrightarrow{AE}，\overrightarrow{AF}$，得出$\overrightarrow{AE}•\overrightarrow{AF}$关于x的函数，求出此函数的值域即可．

解答 解：设CE=x（0≤x≤1），则DF=2x，
∴$\overrightarrow{AE}$=$\overrightarrow{AB}+$（1-x）$\overrightarrow{AD}$，$\overrightarrow{AF}$=x$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AD}$，
∵${\overrightarrow{AB}}^{2}$=4，${\overrightarrow{AD}}^{2}$=1，$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AD}$=2×1×cos$\frac{π}{3}$=1．
∴$\overrightarrow{AE}•\overrightarrow{AF}$=x${\overrightarrow{AB}}^{2}$+（x-x²+1）$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AD}$+（1-x）${\overrightarrow{AD}}^{2}$=4x+（x-x²+1）+（1-x）=-x²+4x+2，
令f（x）=-x²+4x+2=-（x-2）²+6，
则f（x）在[0，1]上单调递增，
∵f（0）=2，f（1）=5，
∴2≤f（x）≤5．
故答案为：[2，5]．

点评 本题考查了平面向量的数量积运算，二次函数的性质，属于中档题．