Question

1．$f（x）={log_2}\frac{x}{2}{log_{\sqrt{2}}}\frac{{\sqrt{x}}}{2}$，其中x满足${3^{2x-4}}-\frac{10}{3}×{3^{x-1}}+9≤0$．
（1）求实数x的取值范围；
（2）求f（x）的最大值及取得最大值时的x的值．

Answer 1

分析 （1）把指数不等式化为关于3^x的一元二次不等式，因式分解后求得3^x的范围，进一步得到x的取值范围；
（2）由（1）中求得的x的范围得到log₂x的范围，把函数f（x）利用对数的运算性质化简整理，得到f（x）═$lo{{g}_{2}}^{2}x-3lo{g}_{2}x+2$，再利用配方法求最大值．

解答 解：（1）由${3^{2x-4}}-\frac{10}{3}×{3^{x-1}}+9≤0$，得3^2x-90×3^x+729≤0．
∴（3^x-9）（3^x-81）≤0，解得9≤3^x≤81，
∴2≤x≤4．
∴实数x的取值范围是[2，4]；
（2）∵x∈[2，4]，∴log₂x∈[1，2]，
∴$f（x）={log_2}\frac{x}{2}{log_{\sqrt{2}}}\frac{{\sqrt{x}}}{2}$=（log₂x-1）（log₂x-2）
=$lo{{g}_{2}}^{2}x-3lo{g}_{2}x+2$=$（lo{g}_{2}x-\frac{3}{2}）^{2}-\frac{1}{4}$．
∴当log₂x=1或log₂x=2，即x=2或4时，函数f（x）有最大值为$\frac{1}{4}-\frac{1}{4}=0$．

点评 本题考查函数的最值及其几何意义，训练了指数不等式的解法，考查对数的运算性质及配方法求函数的最值，是中档题．