Question

14．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C₁的极坐标方程为ρ=2sinθ，正方形ABCD的顶点都在C₁上，且依次按逆时针方向排列，点A的极坐标为（$\sqrt{2}$，$\frac{π}{4}$）．
（1）求点C的直角坐标；
（2）若点P在曲线C₂：x²+y²=4上运动，求|PB|²+|PC|²的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出A的直角坐标，根据A，C关于y轴对称，求出C的坐标即可；
（2）设P（x，y），x=2cosθ，y=2sinθ，求出|PB|²+|PC|²的解析式，根据三角函数的性质求出其范围即可．

解答 解：（1）∵点A的极坐标为（$\sqrt{2}$，$\frac{π}{4}$），
∴点A的直角坐标是（1，1），
由A，C关于y轴对称，则C（-1，1）；
（2）易得B（0，2），C（-1，1），
曲线C₁：ρ=2sinθ的直角坐标方程是：x²+（y-1）²=1，
设P（x，y），x=2cosθ，y=2sinθ，
则|PB|²+|PC|²
=x²+（y-2）²+（x+1）²+（y-1）²
=2x²+2y²-6y+2x+6
=14+2（x-3y）
=14+2（2cosθ-6sinθ）
=14+4（cosθ-3sinθ）
=14+4$\sqrt{10}$cos（θ+φ），
故|PB|²+|PC|²∈[14-4$\sqrt{10}$，14+4$\sqrt{10}$]．

点评 本题考查了极坐标以及直角坐标的转化，考查三角函数的性质以及对称思想，转化思想，是一道中档题．