Question

已知四棱锥P-ABCD及其三视图如下图所示，E是侧棱PC上的动点．
（Ⅰ）求四棱锥P-ABCD的体积；
（Ⅱ）不论点E在何位置，是否都有BD⊥AE？试证明你的结论；
（Ⅲ）若点E为PC的中点，求二面角D-AE-B的大小．

Answer 1

考点：二面角的平面角及求法,棱柱、棱锥、棱台的体积

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（I）由三视图知PC⊥面ABCD，ABCD为正方形，且PC=2，AB=BC=1，由此能求出四棱锥P-ABCD的体积．
（II）不论点E在何位置，都有BD⊥AE．由已知得PC⊥BD，从而BD⊥面ACE，由此能证明BD⊥AE．
（III）连接AC，交BD于O．由对称性，二面角D-AE-B是二面角O-AE-B的2倍，设θ为二面角O-AE-B的平面角．注意到B在面ACE上的射影为O，由cosθ=

S△AOE

S△ABE

=

1

2

，能求出二面角D-AE-B的大小．

解答： 解：（I）由三视图知PC⊥面ABCD，
ABCD为正方形，且PC=2，AB=BC=1，
∴VP-ABCD=

1

3

SABCD×PC=

1

3

×12×2=

2

3

．（4分）
（II）不论点E在何位置，都有BD⊥AE．
证明如下：
∵PC⊥面ABCD，BD?面ABCD，∴PC⊥BD
而BD⊥AC，AC∩AE=A，∴BD⊥面ACE，
而AE?面ACE，
∴BD⊥AE．（7分）
（III）连接AC，交BD于O．
由对称性，二面角D-AE-B是二面角O-AE-B的2倍，
设θ为二面角O-AE-B的平面角．
注意到B在面ACE上的射影为O，
S△AOE=

1

2

S△ACE=

1

2

×

1

2

×

2

=

2

4

，
S△ABE=

1

2

AB×BE=

2

2

，
∴cosθ=

S△AOE

S△ABE

=

1

2

，
∴θ=60°∴二面角D-AE-B是120°．（12分）

点评：本试题主要考查了立体几何中的线面的垂直，以及二面角的求解的综合运用．