Question

13．已知双曲线C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0），O为坐标原点，A为双曲线的右顶点，且以点A为圆心的圆与双曲线C 经过第一、三象限的渐近线交于P、Q两点，若∠PAQ=60°，且$\overrightarrow{OQ}$=4$\overrightarrow{OP}$，则双曲线C的离心率为$\frac{2\sqrt{13}}{5}$．

Answer 1

分析 确定△QAP为等边三角形，设AQ=2R，则OP=$\frac{2}{3}$R，利用勾股定理，结合余弦定理，以及离心率公式，即可得出结论．

解答 解：因为∠PAQ=60°，且$\overrightarrow{OQ}$=4$\overrightarrow{OP}$，
所以△QAP为等边三角形，
设AQ=2R，
则OP=$\frac{2}{3}$R，
渐近线方程为y=$\frac{b}{a}$x，A（a，0），
取PQ的中点M，则AM=$\frac{|ab|}{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}$，
由勾股定理可得（2R）²-R²=（$\frac{|ab|}{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}$）²，
所以（ab）²=3R²（a²+b²）①
在△OQA中，$\frac{（\frac{8R}{3}）^{2}+（2R）^{2}-{a}^{2}}{2•\frac{8}{3}R•2R}$=$\frac{1}{2}$，
所以$\frac{52}{9}$R²=a²②
①②结合c²=a²+b²，
可得e=$\frac{c}{a}$=$\frac{2\sqrt{13}}{5}$．
故答案为：$\frac{2\sqrt{13}}{5}$．

点评 本题考查双曲线的性质，主要是离心率的求法，考查余弦定理、勾股定理，考查学生的计算能力，属于中档题．