Question

20．设函数f（x）是定义在R上的偶函数，且对于所有的x都有f（x+2）=f（x-2）恒成立，当x∈[0，2]时，f（x）=2^x-1，若函数g（x）=f（x）-（$\frac{1}{2}$）^x-a在区间（-2，6]上恰有3个不同零点，则实数a的取值范围是（-$\frac{1}{16}$，$\frac{11}{4}$）．

Answer 1

分析 函数g（x）=f（x）-（$\frac{1}{2}$）^x-a在区间（-2，6]上恰有3个不同零点?函数y=f（x）与函数y=$（\frac{1}{2}）^{x}+a$在区间（-2，6]上恰有3个不同交点点； 依据函数y=f（x）周期、当x∈[0，2]时，f（x）=2^x-1及f（x）的奇偶性，可画出数y=f（x）在区间（-2，6]上的图象，结合图象求解．

解答 解：函数g（x）=f（x）-（$\frac{1}{2}$）^x-a在区间（-2，6]上恰有3个不同零点?函数y=f（x）与函数y=$（\frac{1}{2}）^{x}+a$在区间（-2，6]上恰有3个不同交点点；
∵函数f（x）是定义在R上，且对于所有的x都有f（x+2）=f（x-2）恒成立，∴函数y=f（x）周期为4，
由当x∈[0，2]时，f（x）=2^x-1及f（x）的奇偶性，可画出数y=f（x）在区间（-2，6]上的图象，如下
只需$（\frac{1}{2}）^{2}+a＜3，（\frac{1}{2}）^{4}+a＞0$即可，解得-$\frac{1}{16}$＜a$＜\frac{11}{4}$．
故答案为：（-$\frac{1}{16}，\frac{11}{4}$）

点评 本题考查了函数零点问题，考查了函数与方程的思想、数形结合思想，属于中档题．