Question

1．定义在（-∞，0）上的可导函数f（x）的导数为f'（x），且有xf'（x）-2f（x）＞x²，若f（m+2015）-（m+2015）²f（-1）＞0，则实数m的取值范围是（　　）

• A． （-2016，0）
• B． （-∞，-2017）
• C． （-∞，-2016）
• D． （-2016，-2015）

Answer 1

分析 对不等式xf′（x）-2f（x）＞x²两边同除以-x³便可据条件得出$（\frac{f（x）}{{x}^{2}}）′＞0$，从而判断出函数F（x）=$\frac{f（x）}{{x}^{2}}$在（-∞，0）上单调递增，这样可由不等式f（m+2015）-（m+2015）²f（-1）＞0得出F（m+2015）＞F（-1），这样根据F（x）的定义域及单调性即可求出m的取值范围．

解答 解：由xf′（x）-2f（x）＞x²（x＜0）得，
$\frac{xf′（x）-2f（x）}{-{x}^{3}}＞-\frac{1}{x}＞0$；
∴$（\frac{f（x）}{{x}^{2}}）′＞0$；
设F（x）=$\frac{f（x）}{{x}^{2}}$，则F（x）在（-∞，0）上单调递增；
由f（m+2015）-（m+2015）²f（-1）＞0得，$\frac{f（m+2015）}{（m+2015）^{2}}＞f（-1）$；
即$\frac{f（m+2015）}{（m+2015）^{2}}＞\frac{f（-1）}{（-1）^{2}}$；
∴F（m+2015）＞F（-1）；
∴-1＜m+2015＜0；
∴-2016＜m＜-2015；
∴m的取值范围是（-2016，-2015）．
故选D．

点评 考查通过构造函数解决函数问题的方法，以及函数导数符号和函数单调性的关系，商的导数的计算公式，以及不等式的性质．