Question

8．用部分自然构造如图的数表：用a_ij（i≥j）表示第i行第j个数（i，j∈N₊），使得a_i1=a_ii=i．每行中的其他各数分别等于其“肩膀”上的两个数之和．设第n（n∈N₊）行的第二个数为b_n（n≥2）．
（1）写出b_n+1与b_n的关系，并求b_n（n≥2）；
（2）设数列{c_n}前n项和为T_n，且满足${c_1}=1，{c_n}=\frac{1}{{{b_n}-1}}，（{n≥2}）$，求证：T_n＜3．

Answer 1

分析 （1）由题意可得b_n+1=b_n+n，n≥2，运用累加法，即可得到b_n；
（2）求得n≥2时，c_n=$\frac{2}{n（n-1）}$=2（$\frac{1}{n-1}$-$\frac{1}{n}$），运用数列的求和方法：裂项相消求和，化简整理即可得到所求和，由不等式的性质，即可得证．

解答 解：（1）由已知得b₂=2，b_n+1=b_n+n，n≥2，
当n≥2时，b₃-b₂=2，b₄-b₃=3，…，b_n-b_n-1=n-1，
累加得b_n-b₂=2+3+…+n-1=$\frac{1}{2}$（n-2）（n+1），
则b_n=1+$\frac{1}{2}$n（n-1）（n≥2）；
（2）证明：由${c_1}=1，{c_n}=\frac{1}{{{b_n}-1}}，（{n≥2}）$，
由（1）可得n≥2时，c_n=$\frac{2}{n（n-1）}$=2（$\frac{1}{n-1}$-$\frac{1}{n}$），
前n项和为T_n=1+2（1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n-1}$-$\frac{1}{n}$）
=1+2（1-$\frac{1}{n}$）=3-$\frac{2}{n}$＜3．

点评 本题考查数列的递推关系和通项公式的求法，注意运用累加法，考查数列的求和方法：裂项相消求和，考查运算能力，属于中档题．