Question

4．设F₁，F₂分别是$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的左、右焦点．若在椭圆上存在点P满足|PF₁|=|F₁F₂|，且原点到直线PF₂的距离等于椭圆的短半轴长，则该椭圆的离心率为（　　）

• A． $\frac{5}{7}$
• B． $\frac{7}{5}$
• C． $\frac{1}{7}$
• D． $\frac{1}{2}$

Answer 1

分析 过F₁做PF₂的垂线，交PF₂于B，根据题意及中位线定理求得|F₁B|=2b，根据勾股定理求得|BF₂|=2$\sqrt{{c}^{2}-{b}^{2}}$，利用等腰三角形三线合一，求得|PF₂|=4$\sqrt{{c}^{2}-{b}^{2}}$，根据椭圆的定义及性质，求得5a²-2ac-7c²=0，即7e²+2e-5=0，根据离心率的取值范围，求得椭圆的离心率．

解答 解：由题意可知：过F₁做PF₂的垂线，交PF₂于B，
由题意可知：OA⊥PF₂，OF₁=OF₂，|OA|=b，
∴2|OA|=|F₁B|，
∴|F₁B|=2b，
由|PF₁|=|F₁F₂|，
∴△PF₁F₂为等腰三角形，
∴B为PF₂的中点，
由直角三角形中：|F₁B|²+|BF₂|²=|F₁F₂|²，
∴|BF₂|=2$\sqrt{{c}^{2}-{b}^{2}}$，
∴|PF₂|=4$\sqrt{{c}^{2}-{b}^{2}}$，
由椭圆的定义可知：|PF₁|+|PF₂|=2a，
∴2c+4$\sqrt{{c}^{2}-{b}^{2}}$=2a，
由a²=b²+c²，
代入整理得：5a²-2ac-7c²=0，等式两边同除以a²，
根据椭圆的离心率公式e=$\frac{c}{a}$，整理得：7e²+2e-5=0，
由0＜e＜1，
解得：e=$\frac{5}{7}$，
故答案选：A．

点评 本题考查椭圆的方程及其简单几何性质，考查等腰三角形性质及勾股定理的应用，椭圆的离心率的取值范围，考查数形结合思想，属于中档题．