Question

14．设等差数列{a_n}的公差为d，且a₁，d∈N^*．若设M₁是从a₁开始的前t₁项数列的和，即M₁=a₁+…+a_t1（1≤t₁，t₁∈N^*），${M_2}={a_{{t_1}+1}}+{a_{{t_1}+2}}+…+{a_{t_2}}（1＜{t_2}∈{N^*}）$，如此下去，其中数列{M_i}是从第t_i-1+1（t₀=0）开始到第t_i（1≤t_i）项为止的数列的和，即${M_i}={a_{{t_{i-1}}+1}}+…+{a_{t_i}}（1≤{t_i}，{t_i}∈{N^*}）$．
（1）若数列a_n=n（1≤n≤13，n∈N^*），试找出一组满足条件的M₁，M₂，M₃，使得：M₂²=M₁M₃；
（2）试证明对于数列a_n=n（n∈N^*），一定可通过适当的划分，使所得的数列{M_n}中的各数都为平方数；
（3）若等差数列{a_n}中a₁=1，d=2．试探索该数列中是否存在无穷整数数列{t_n}，（1≤t₁＜t₂＜t₃＜…＜t_n），n∈N^*，使得{M_n}为等比数列，如存在，就求出数列{M_n}；如不存在，则说明理由．

Answer 1

分析 （1）由题意可知，M₁=1，${M_2}=2+3+4=9={3^2}$，M₃=6+7+8+…+13=81，即可使得M₂²=M₁M₃；
（2）由（1）的分析，可知只要${t_n}=1+3+{3^2}+…+{3^{n-1}}$，则所得划分就是符合题意的，由${t_n}=\frac{{{3^n}-1}}{2}$，${S_{t_n}}=1+2+3+…+\frac{{{3^n}-1}}{2}$=$\frac{{\frac{{{3^n}-1}}{2}（1+\frac{{{3^n}-1}}{2}）}}{2}$，${M_{n+1}}={S_{{t_{n+1}}}}-{S_{t_n}}={3^{2n}}$是完全平方数；
（3）假设存在存在无穷整数数列{t_n}，由题意求得：${M_n}=t_n^2-t_{n-1}^2$，数列{M_n}必定是公比q大于1的整数的等比数列，但事实上，$t_3^2={M_1}+{M_2}+{M_3}={M_1}（1+q+{q^2}）=t_1^2（1+q+{q^2}）$，从而要求1+q+q²是完全平方数，这是不可能的，故假设错误，本题结论是不存在．

解答 解：（1）则M₁=1，M₂=2+3+4=9，M₃=5+6+…+13=81；（4分）
（2）记t₁=1，即M₁=1，又由2+3+4=9=3²，${M_2}={3^2}$，
∴第二段可取3个数，t₂=1+3=4；再由5+6+…+13=81=3⁴，即${M_3}={3^4}$，
因此第三段可取9个数，即${t_3}=1+3+{3^2}=13，…$，依次下去，
一般地：${t_n}=1+3+…+{3^{n-1}}=\frac{{{3^n}-1}}{2}$，${t_{n+1}}=\frac{{{3^{n+1}}-1}}{2}$（6分）
所以${S_{t_n}}=1+2+3+…+\frac{{{3^n}-1}}{2}=\frac{{（\frac{{{3^n}-1}}{2}）（1+\frac{{{3^n}-1}}{2}）}}{2}$，（8分）
${S_{{t_{n+1}}}}=1+2+3+…+\frac{{{3^{n+1}}-1}}{2}=\frac{{（\frac{{{3^{n+1}}-1}}{2}）（1+\frac{{{3^{n+1}}-1}}{2}）}}{2}$（9分）
则${M_{n+1}}={S_{{t_{n+1}}}}-{S_{t_n}}=\frac{{（\frac{{{3^{n+1}}-1}}{2}）（1+\frac{{{3^{n+1}}-1}}{2}）}}{2}-\frac{{（\frac{{{3^n}-1}}{2}）（1+\frac{{{3^n}-1}}{2}）}}{2}={3^{2n}}$．
由此得证．（11分）
（3）不存在．令${S_{t_n}}={t_n}{a_1}+\frac{{{t_n}（{t_n}-1）}}{2}d=t_n^2$，则${M_n}=t_n^2-t_{n-1}^2$
假设存在符合题意的等比数列，则{M_n}的公比必为大于1的整数，
（∵${M_n}≥t_n^2-{（{t_n}-1）^2}=2{t_n}-1∴{M_n}→+∞$，因此q＞1），即${M_n}={M_1}{q^{n-1}}∈{N^*}$，
此时，注意到，$t_3^2={M_3}+{M_2}+{M_1}={M_1}（1+q+{q^2}）=t_1^2（1+q+{q^2}）$（14分）
要使$t_3^2=t_1^2（1+q+{q^2}）$成立，则1+q+q²必为完全平方数，（16分）
但q²＜1+q+q²＜（q+1）²，矛盾．因此不存在符合题意的等差数列{M_n}．（18分）

点评 本题考查等差数列与等比数列的综合运用，考查新定义，考查反证法的运用，考查学生分析问题及解决问题的能力，属于难题．