Question

13．设复数z=x+yi满足$\frac{z+1}{z+2}$的实部与虚部之比为$\sqrt{3}$，其中i是虚数单位，x．y∈R，则$\frac{y}{x}$的最大值为$\frac{-3\sqrt{3}+4\sqrt{2}}{5}$．

Answer 1

分析 利用复数的运算法则化简$\frac{z+1}{z+2}$=$\frac{{x}^{2}+3x+2+{y}^{2}+yi}{（x+2）^{2}+{y}^{2}}$，根据$\frac{z+1}{z+2}$的实部与虚部之比为$\sqrt{3}$，可得：$（x+\frac{3}{2}）^{2}$+$（y-\frac{\sqrt{3}}{2}）^{2}$=1．设$\frac{y}{x}$=k，则y=kx，根据直线与圆相切的充要条件可得：$\frac{|-\frac{3}{2}k-\frac{\sqrt{3}}{2}|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$≤1，化简解出即可得出．

解答 解：$\frac{z+1}{z+2}$=$\frac{x+yi+1}{x+yi+2}$=$\frac{（x+1+yi）（x+2-yi）}{（x+2+yi）（x+2-yi）}$=$\frac{{x}^{2}+3x+2+{y}^{2}+yi}{（x+2）^{2}+{y}^{2}}$，
∵$\frac{z+1}{z+2}$的实部与虚部之比为$\sqrt{3}$，∴x²+3x+2+y²=$\sqrt{3}$y，
配方为：$（x+\frac{3}{2}）^{2}$+$（y-\frac{\sqrt{3}}{2}）^{2}$=1．
设$\frac{y}{x}$=k，则y=kx，
则$\frac{|-\frac{3}{2}k-\frac{\sqrt{3}}{2}|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$≤1，化为5k²+6$\sqrt{3}$k-1≤0，
解得：$\frac{-3\sqrt{3}-4\sqrt{2}}{5}$≤k≤$\frac{-3\sqrt{3}+4\sqrt{2}}{5}$，
∴$\frac{y}{x}$的最大值为$\frac{-3\sqrt{3}+4\sqrt{2}}{5}$，
故答案为：$\frac{-3\sqrt{3}+4\sqrt{2}}{5}$．

点评 本题考查了复数的运算法则、圆的方程、直线与圆相切的充要条件、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．