Question

已知函数f（x）=（x-k）²e

x

k

，求f（x）的单调区间．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性

专题：计算题,导数的综合应用

分析：先求导f′（x）=2（x-k）e

x

k

+

1

k

（x-k）²e

x

k

=

1

k

（x-k）（x+k）e

x

k

，再讨论以确定导数的正负，从而确定函数的单调性．

解答： 解：∵f（x）=（x-k）²e

x

k

，
∴f′（x）=2（x-k）e

x

k

+

1

k

（x-k）²e

x

k

=

1

k

（x-k）（x+k）e

x

k

，
①当k＜0时，

1

k

＜0，e

x

k

＞0；
当x＜k或x＞-k时，f′（x）＜0；
当k＜x＜-k时，f′（x）＞0；
故f（x）的单调减区间为（-∞，k），（-k，+∞）；
单调增区间为（k，-k）；
②当k＞0时，

1

k

＞0，e

x

k

＞0；
当x＞k或x＜-k时，f′（x）＞0；
当-k＜x＜k时，f′（x）＜0；
故f（x）的单调增区间为（-∞，k），（-k，+∞）；
单调减区间为（k，-k）．

点评：本题考查了导数的综合应用及分类讨论的思想应用，属于基础题．