Question

设t∈R，过定点A的动直线x-my=0和过定点B的动直线mx+y+2m-2=0交于点P（x，y），则|PA|•|PB|的最大值是

 

．

Answer 1

考点：两点间距离公式的应用

专题：直线与圆

分析：动直线x-my=0过定点A（0，0），动直线mx+y+2m-2=0化为m（x+2）+y-2=0，令

x+2=0 y-2=0

，可得定点B（-2，2）．连接

x-my=0 mx+y+2m-2=0

，解得P(

2m-2m2

m2+1

，

2-2m

m2+1

)，利用两点之间的距离公式可得|PA|•|PB|=4|1-

2

m2+1

|，即可得出最大值．

解答： 解：动直线x-my=0过定点A（0，0），
动直线mx+y+2m-2=0化为m（x+2）+y-2=0，令

x+2=0 y-2=0

，解得x=-2，y=2．过定点B（-2，2）．
连接

x-my=0 mx+y+2m-2=0

，解得

x= 2m-2m2 m2+1 y= 2-2m m2+1

．即P(

2m-2m2

m2+1

，

2-2m

m2+1

)，
∴|PA|•|PB|=

( 2m-2m2 m2+1 )2+( 2-2m m2+1 )2

•

( 2m-2m2 m2+1 +2)2+( 2-2m m2+1 -2)2

=4|

m2-1

m2+1

|=4|1-

2

m2+1

|≤4，
当且仅当m=0时取等号．
故答案为：4．

点评：本题考查了直线系、直线的交点、两点之间的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．