Question

1．已知x、y满足$\left\{\begin{array}{l}{y≤x}\\{x+2y≤4}\\{y≥-2}\end{array}\right.$，求：
（1）t=x²+y²+2x-2y+2的最小值；
（2）t=|x-y+1|的最大值；
（3）t=$\frac{y+3}{x-1}$的取值范围；
（4）t=xy的取值范围．

Answer 1

分析 （1）画出约束条件表示的平面区域，由t表示平面区域内的点，到点M（-1，1）距离的平方，求出t的最小值；
（2）由题意去掉绝对值，结合图形得出最优解，求出t的最大值；
（3）利用直线的斜率求出t的取值范围；
（4）根据反比例函数的意义求出t的最大、最小值．

解答 解：画出约束条件$\left\{\begin{array}{l}{y≤x}\\{x+2y≤4}\\{y≥-2}\end{array}\right.$表示的平面区域，如图所示；

（1）由t=x²+y²+2x-2y+2=（x+1）²+（y-1）²，
表示平面区域内的点，到点M（-1，1）距离的平方，
且点M（-1，1）到直线y=x的距离为：
d=$\frac{|-1×1-1×1|}{\sqrt{{1}^{2}{+（-1）}^{2}}}$=$\sqrt{2}$，如图1所示；

故所求的最小值为t=d²=2；
（2）由t=|x-y+1|，得±t=x-y+1，
即y=x±t+1，令$\left\{\begin{array}{l}{x+2y=4}\\{y=-2}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=8}\\{y=-2}\end{array}\right.$，A（8，-2），
如图2所示；

此时t取得最大值为8-（-2）+1=11；
（3）t=$\frac{y+3}{x-1}$表示区域内的点与N点（1，-3）连线的斜率，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=x}\\{y=-2}\end{array}\right.$，得B（-2，-2），计算k_BN=$\frac{-3+2}{1+2}$=-$\frac{1}{3}$；
A（8，-2），k_AN=$\frac{-3+2}{1-8}$=$\frac{1}{7}$，如图3所示；

所以t得取值范围是t≤-$\frac{1}{3}$或t≥$\frac{1}{7}$；
（4）由t=xy得y=$\frac{t}{x}$，根据反比例函数的意义知，
曲线过点B（-2，-2）时，t取得最大值为4；
曲线过点A（8，-2）时，t取得最小值为-16；
∴t的取值范围是[-16，4]．

点评 本题考查了线性规划的应用问题，也考查了数形结合解题方法，是综合题．