Question

6．已知二次数f（x）=ax²+bx+c（a≤b）的值域为[0，+∞），则$\frac{a-b+4c}{a+b}$的最小值为$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 由题意可得△=b²-4ac=0，且0＜a≤b，将原分式分子、分母同乘以a，再同乘以a²，令1+$\frac{b}{a}$=t（t≥2），转化为t的函数，运用导数判断单调性，即可得到所求最小值．

解答 解：由题意可得△=b²-4ac=0，且0＜a≤b，
则$\frac{a-b+4c}{a+b}$=$\frac{{a}^{2}-ab+4ac}{{a}^{2}+ab}$=$\frac{{a}^{2}-ab+{b}^{2}}{{a}^{2}+ab}$
=$\frac{1-\frac{b}{a}+（\frac{b}{a}）^{2}}{1+\frac{b}{a}}$，
令1+$\frac{b}{a}$=t（t≥2），即有$\frac{b}{a}$=t-1，
则$\frac{a-b+4c}{a+b}$=$\frac{1-（t-1）+（t-1）^{2}}{t}$
=t+$\frac{3}{t}$-3，
由y=t+$\frac{3}{t}$-3的导数为y′=1-$\frac{3}{{t}^{2}}$，
由于t≥2，可得y′＞0，即函数y递增，
可得y的最小值为2+$\frac{3}{2}$-3=$\frac{1}{2}$，此时a=b．
故答案为：$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查二次函数的值域的运用，考查转化思想和换元法的运用，以及函数的单调性的运用，考查运算能力，属于中档题．