题目内容
已知在△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，且2[1-cos（B+C）]-cos2A=
（1）若sinA=2sinBcosC，试判断△ABC的形状；
（2）若a=
，b+c=3，求b和c的值．
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（1）若sinA=2sinBcosC，试判断△ABC的形状；
（2）若a=
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考点：余弦定理,正弦定理
专题：三角函数的求值
分析：（1）已知等式利用诱导公式及二倍角的余弦函数公式化简，求出cosA的值，确定出A的度数，利用正弦定理化简sinA=2sinBcosC，利用积化和差公式变形得到sin（B-C）=0，即可确定出三角形形状；
（2）由余弦定理列出关系式，将a，cosA，以及b+c的值代入求出bc的值，即可确定出b与c的值．
（2）由余弦定理列出关系式，将a，cosA，以及b+c的值代入求出bc的值，即可确定出b与c的值．
解答：
解：（1）2[1-cos（B+C）]-cos2A=2（1+cosA）-（2cos2A-1）=-2cos2A+2cosA+3=
，
解得：cosA=
，
∵A为三角形内角，
∴A=
，
∵sinA=2sinBcosC=sin（B+C）+sin（B-C）=sinA+sin（B-C），且sinA≠0，
∴sin（B-C）=0，即B=C，
则△ABC为等边三角形；
（2）∵cosA=
，a=
，b+c=3①，
∴由余弦定理得：a2=b2+c2-2bccosA=b2+c2-bc=（b+c）2-3bc，即3=9-3bc，
∴bc=2②，
联立①②解得：b=1，c=2或b=2，c=1．
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解得：cosA=
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∵A为三角形内角，
∴A=
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∵sinA=2sinBcosC=sin（B+C）+sin（B-C）=sinA+sin（B-C），且sinA≠0，
∴sin（B-C）=0，即B=C，
则△ABC为等边三角形；
（2）∵cosA=
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∴由余弦定理得：a2=b2+c2-2bccosA=b2+c2-bc=（b+c）2-3bc，即3=9-3bc，
∴bc=2②，
联立①②解得：b=1，c=2或b=2，c=1．
点评：此题考查了正弦、余弦定理，熟练掌握定理是解本题的关键．
练习册系列答案
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下列命题中真命题的是（ ）
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