Question

3．如图，△PAC中，B在边AC上，且AB=BC=1，∠APB=90°，∠BPC=30°，则$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PC}$=$-\frac{4}{7}$．

Answer 1

分析 可取PC的中点D，并连接BD，设BD=x，根据条件便可得出PA=2x，CD=2x，且∠BDC=120°，BC=1，这样在△BCD中，由余弦定理即可建立关于x的方程，从而解出x=$\frac{\sqrt{7}}{7}$，进而得出$|\overrightarrow{PA}|，|\overrightarrow{PC}|$的值，并且∠APC=120°，这样便可求出数量积$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PC}$的值．

解答 解：如图，取PC中点D，连接BD，设BD=x，则：

∵BD是△PAC的中位线；
∴BD∥PA，且PA=2BD；
∴PA=2x，∠PBD=∠APB=90°；
又∠BPC=30°；
∴PD=2BD=2x；
∴CD=2x，且∠BDC=90°+30°=120°，BC=1；
∴在△BCD中，由余弦定理得：
BC²=BD²+CD²-2BD•CDcos120°；
即1=x²+4x²+2x²；
∴$x=\frac{\sqrt{7}}{7}$；
∴$PA=\frac{2\sqrt{7}}{7}，PC=4x=\frac{4\sqrt{7}}{7}$，且∠APC=120°；
∴$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PC}=|\overrightarrow{PA}||\overrightarrow{PC}|cos120°$=$\frac{2\sqrt{7}}{7}×\frac{4\sqrt{7}}{7}×（-\frac{1}{2}）=-\frac{4}{7}$．
故答案为：$-\frac{4}{7}$．

点评 考查三角形中位线的概念及性质，三角函数的定义，以及余弦定理，数量积的计算公式．