题目内容
14．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{|lo{g}_{2}x|，0＜x＜2}\\{sin\frac{πx}{4}，2≤x≤10}\end{array}\right.$，若存在实数x1，x2，x3，x4，满足x1＜x2＜x3＜x4，且f（x1）=f（x2）=f（x3）=f（x4），则$\frac{（{x}_{3}-2）（{x}_{4}-2）}{{x}_{1}{x}_{2}}$的取值范围是（0，12）．分析 做出f（x）的函数图象，求出x1，x2，x3，x4的范围，根据对数函数的性质得出x1x2=1，利用三角函数的对称性得出x3+x4=12，代入式子化简得出关于x3的二次函数，根据x3的范围和二次函数的性质求出值域即可．
解答 解：作出函数f（x）的图象如图所示：
因为存在实数x1，x2，x3，x4，满足x1＜x2＜x3＜x4，且f（x1）=f（x2）=f（x3）=f（x4），
∴$\frac{1}{2}$＜x1＜1，1＜x2＜2，2＜x3＜4，8＜x4＜10，
∵-log2x1=log2x2，∴log2$\frac{1}{{x}_{1}}$=log2x2，∴x1x2=1，
∵y=sin$\frac{πx}{4}$关于直线x=6对称，∴x3+x4=12，
∴$\frac{（{x}_{3}-2）（{x}_{4}-2）}{{x}_{1}{x}_{2}}$=（x3-2）（x4-2）=（x3-2）（12-x3-2）=-x32+12x3-20=-（x3-6）2+16，
令g（x3）=-（x3-6）2+16，则g（x3）在（2，4）上是增函数，
∵g（2）=0，g（4）=12，
∴0＜g（x3）＜12．
故答案为（0，12）．
点评 本题考查了分段函数图象的图象，对数函数，三角函数，二次函数的性质，属于中档题．
练习册系列答案
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