Question

6．设函数f（x）=|x-a|-ax，其中a＞0．
（1）解不等式f（x）＜0；
（2）当0＜a≤1时，求函数f（x）的最小值．

Answer 1

分析 （1）对参数a进行分类讨论，去绝对值分别求解即可．
（2）在区间内去绝对值，利用一次函数的单调性判断函数的最值，分别求最小值即可．

解答 解：（1）当x≥a时，（x-a）-ax＜0 即（1-a）x＜a
                 ①当0＜a＜1时，a≤x＜$\frac{a}{1-a}$
                 ②当a=1时，x≥a
                 ③当a＞1时，x＞$\frac{a}{1-a}$
                 当x＜a时，（a-x）-ax＜0 即（1+a）x＞a
                  从而x＞$\frac{a}{1+a}$，
故$\frac{a}{1+a}$＜x＜a
        综上所述，①当0＜a＜1时，$\frac{a}{1+a}$＜x＜$\frac{a}{1-a}$
                          ②当a=1时，x＞$\frac{a}{1+a}$
                          ③当a＞1时，x＞$\frac{a}{1-a}$
  （2）当x≥a时，f（x）=（x-a）-ax=（1-a）x-a
             因为0＜a＜1，所以斜率1-a＞0，
f（x）在[a，+∞]单调增，在x=a处取到最小值-a²，
            当x＜a时，f（x）=（a-x）-ax=a-（1+a）x
             斜率-（1+a）＜0，f（x）在[-∞，a）单调减，f（x）＞f（a）=-a²，
            综上所述，当0＜a≤1时，f（x）的最小值为-a²．

点评 考查了绝对值函数的分类讨论问题，难点是对参数的分类．