Question

已知f（x）=x²+ax+3-a，若x∈（-2，2），f（x）≥2恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

考点：函数恒成立问题

专题：不等式的解法及应用

分析：求出二次函数的对称轴方程，然后对对称轴所在范围分类，求出不同情况下的函数f（x）的最小值，由最小值大于等于2求解a的范围，最后取并集得答案．

解答： 解：函数f（x）=x²+ax+3-a的对称轴方程为x=-

a

2

，
当-

a

2

≤-2，即a≥4时，f(x)min=f(-2)=(-2)2-2a+3-a=7-3a，
由7-3a≥2，解得a≤

5

3

，与a≥4矛盾；
当-2＜-

a

2

＜2，即-4＜a＜4时，
f(x)min=f(-

a

2

)=(-

a

2

)2-

a2

2

+3-a=3-a-

a2

4

．
由3-a-

a2

4

≥2，解得：-2-2

2

≤a≤-2+2

2

，
∴-4＜a≤-2+2

2

；
当-

a

2

≥2，即a≤-4时，
f（x）_min=f（2）=4+2a+3-a=7+a，
由7+a≥2，解得a≥-5，
∴-5≤a≤-4．
综上，实数a的取值范围是-5≤a≤-2+2

2

．

点评：本题考查了恒成立问题，考查了分类讨论的数学思想方法，训练了利用函数的单调性求函数的最值，是中档题．