题目内容

已知三棱锥O-ABC，A、B、C三点均在球心O的表面上，且AB=BC=1，∠ABC=120°，三棱锥O-ABC的体积为
5
4
，求球的表面积．
考点：球的体积和表面积
专题：球
分析：求出底面三角形的面积，利用三棱锥的体积求出O到底面的距离，求出底面三角形的所在平面圆的半径，通过勾股定理求出球的半径，即可求解球的体积．
解答： 解：三棱锥O-ABC，A、B、C三点均在球心O的表面上，且AB=BC=1，∠ABC=120°，BC=
3
，
∴S△ABC=
1
2
×1×1×sin120°=
3
4
，
∵三棱锥O-ABC的体积为
5
4
，△ABC的外接圆的圆心为G，∴OG⊥⊙G，
外接圆的半径为：GA=
3
2sin120°
=1，
∴
1
3
S△ABC•OG=
5
4
，即
1
3
×
3
4
OG=
5
4
，
OG=
15
，
球的半径为：
AG2+OG2
=4．
球的表面积：4π42=64π．
点评：本题考查球的表面积的求法，球的内含体与三棱锥的关系，考查空间想象能力以及计算能力．
练习册系列答案
相关题目
已知α为第二象限角，且sinα=
4
5
，则tanα的值为（　　）
A、-
3
4
B、-
4
3
C、
3
4
D、
4
3
已知圆O：x2+y2=34，椭圆C：
x2
25
+
y2
9
=1．
（Ⅰ）若点P在圆O上，线段OP的垂直平分线经过椭圆的右焦点，求点P的横坐标；
（Ⅱ）现有如下真命题：“过圆x2+y2=52+32上任意一点Q（m，n）作椭圆
x2
52
+
y2
32
=1的两条切线，则这两条切线互相垂直”；“过圆x2+y2=42+72上任意一点Q（m，n）作椭圆
x2
42
+
y2
72
=1的两条切线，则这两条切线互相垂直”．据此，写出一般结论，并加以证明．
计算：msin
7
2
π+ntan（-4π）+pcos
5
2
π．
已知椭圆W：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的焦距为2，过右焦点和短轴一个端点的直线的斜率为-1，O为坐标原点．
（Ⅰ）求椭圆W的方程．
（Ⅱ）设斜率为k的直线l与W相交于A，B两点，记△AOB面积的最大值为Sk，证明：S1=S2．
已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的短轴长为2，离心率为
2
2
．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若过点M（2，0）的引斜率为k的直线与椭圆C相交于两点G、H，设P为椭圆C上一点，且满足
OG
+
OH
=t
OP
（O为坐标原点），当|
PG
-
PH
|＜
2
5
3
时，求实数t的取值范围？
（文）在平面xoy内，不等式x2+y2≤4确定的平面区域为U，不等式组
x-2y≥0
x+3y≥0
确定的平面区域为V．
（1）定义横、纵坐标均为非负整数的点为“非负整点”．在区域U中任取2个“非负整点”，求这些“非负整点”中恰好有1个“非负整点”落在区域V中的概率；
（2）在区域U中任取一个点，求这个点恰好在区域V内的概率．
（1）若
a
=（1，0），
b
=（-1，1），
c
=
a
+（
a
•
b
）
b
，求|
c
|；
（2）已知|
a
|=1，|
b
|=
3
，|
a
+
b
|=1，求
a
与
b
夹角θ的值．
已知函数f（x）=|x-1|．
（Ⅰ）解不等式f（x）+f（x+4）≥8；
（Ⅱ）若|a|＜1，|b|＜1，且a≠0，求证：f（ab）＞|a|f（
b
a
）．

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