Question

已知

a

=（sinx，cosx），

b

=（cosx，cosx），函数f（x）=

a

•

b

．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）函数f（x）的图象可以由函数y=sinx的图象经过怎样的变换得到？

Answer 1

考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换,平面向量数量积的运算,三角函数中的恒等变换应用

专题：三角函数的图像与性质

分析：（Ⅰ）利用平面向量数量积的坐标运算与三角恒等变换可求得f（x）=

2

2

sin(2x+

π

4

)+

1

2

，从而可求得函数f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换即可求得函数f（x）的图象如何由函数y=sinx的图象变换得到．

解答： 解：（Ⅰ）∵f（x）=

a

•

b

=sinxcosx+cos²x
=

1

2

sin2x+

cos2x+1

2

=

1

2

sin2x+

1

2

cos2x+

1

2

=

2

2

sin(2x+

π

4

)+

1

2

．　　…（4分）
当2kπ-

π

2

≤2x+

π

4

≤2kπ+

π

2

，k∈Z，
即kπ-

3π

8

≤x≤kπ+

π

8

，k∈Z时，函数f（x）单调递增，
∴函数f（x）的单调递增区间为[kπ-

3π

8

，kπ+

π

8

]，k∈Z．…（7分）
（Ⅱ）函数y=sinx图象向左平移

π

4

个单位长度，得到函数y=sin(x+

π

4

)的图象；
然后使曲线上各点的横坐标缩为原来的

1

2

倍，得到函数y=sin(2x+

π

4

)的图象；
再将曲线上各点的纵坐标缩为原来的

2

2

倍，得到函数y=

2

2

sin(2x+

π

4

)的图象；
最后把得到的曲线向上平移

1

2

个单位长度 就得到函数f（x）的图象了．…（12分）

点评：本题考查平面向量数量积的坐标运算与三角恒等变换，考查正弦函数的单调性与函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，属于中档题．