Question

16．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知bcosC=（2a-c）cosB．
（Ⅰ）求B；
（Ⅱ）若$b=\sqrt{7}$，△ABC的面积为$\frac{{3\sqrt{3}}}{2}$，求△ABC的周长．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知及正弦定理，两角和的正弦函数公式，三角形内角和定理，诱导公式可求sinA=2sinAcosB，结合sinA≠0，可求cosB的值，利用特殊角的三角函数值即可得解B的值．
（Ⅱ）由已知及三角形面积公式可求ac=6，进而利用余弦定理可求a+c的值，从而可求周长．

解答 （本题满分为12分）
解：（Ⅰ）由已知及正弦定理得sinBcosC=（2sinA-sinC）•cosB=2sinAcosB-sinCcosB．…（2分）
可得：sinBcosC+sinCcosB=2sinAcosB，
可得：sin（B+C）=2sinAcosB，故sinA=2sinAcosB，
因为，sinA≠0，
所以$cosB=\frac{1}{2}$，$B=\frac{π}{3}$．…（6分）
（Ⅱ）由已知，$\frac{1}{2}acsinB=\frac{{3\sqrt{3}}}{2}$，
又$B=\frac{π}{3}$，所以ac=6．…（8分）
由已知及余弦定理得，a²+c²-2accosB=7，
故a²+c²=13．…（10分）
从而（a+c）²=25，可得：a+c=5．
所以△ABC的周长为$5+\sqrt{7}$．…（12分）

点评 本题主要考查了正弦定理，两角和的正弦函数公式，三角形内角和定理，诱导公式，特殊角的三角函数值，三角形面积公式，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了转化思想，属于基础题．