Question

6．在空间直角坐标系O-xyz中．正四面体P-ABC的顶点A，B分别在x轴，y轴上移动．若该正四面体的棱长是2，则|OP|的取值范围是（　　）

• A． [$\sqrt{3}$-1，$\sqrt{3}$+1]
• B． [1，3]
• C． [$\sqrt{3}$-1，2]
• D． [1，$\sqrt{3}$+1]

Answer 1

分析 根据题意画出图形，结合图形，固定正四面体P-ABC的位置，则原点O在以AB为直径的球面上运动，
原点O到点P的最近距离等于PM减去球的半径，最大距离是PM加上球的半径．

解答 解：
如图所示，若固定正四面体P-ABC的位置，则原点O在以AB为直径的球面上运动，
设AB的中点为M，则PM=$\sqrt{{2}^{2}{-1}^{2}}$=$\sqrt{3}$；
所以原点O到点P的最近距离等于PM减去球M的半径，
最大距离是PM加上球M的半径；
所以$\sqrt{3}$-1≤|OP|≤$\sqrt{3}$+1，
即|OP|的取值范围是[$\sqrt{3}$-1，$\sqrt{3}$+1]．
故选：A．

点评 本题主要考查了点到直线以及点到平面的距离与应用问题，也考查了数形结合思想的应用问题，是综合题．