Question

8．如图，ABCD是菱形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=2，∠BAD=60°．
（Ⅰ）求证：平面PBD⊥平面PAC；
（Ⅱ）求二面角D-PB-C的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）推导出BD⊥AC，PA⊥BD，从而BD⊥平面PAC，由此能证明平面PBD⊥平面PAC．
（Ⅱ）以$\overrightarrow{OA}$为x轴的正方向，$\overrightarrow{OB}$为y轴的正方向，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角D-PB-C的余弦值．

解答 证明：（Ⅰ）由ABCD是菱形可得BD⊥AC，
因为PA⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，
所以PA⊥BD，又PA∩AC=A，
所以BD⊥平面PAC，又BD?平面PBD，
故平面PBD⊥平面PAC．…（5分）
解：（Ⅱ）以$\overrightarrow{OA}$为x轴的正方向，$\overrightarrow{OB}$为y轴的正方向，建立如图所示的直角坐标系，
则O（0，0，0），B（0，1，0），$P（{\sqrt{3}，0，2}）$，$C（{-\sqrt{3}，0，0}）$．…（7分）
设平面PBD的一个法向量$\overrightarrow{n_1}=（{{x_1}，{y_1}，{z_1}}）$，
由$\overrightarrow{n_1}⊥\overrightarrow{OB}$，$\overrightarrow{n_1}⊥\overrightarrow{OP}$，可得$\left\{\begin{array}{l}0•{x_1}+1•{y_1}+0•{z_1}=0\\ \sqrt{3}{x_1}+0•{y_1}+2{z_1}=0\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{y_1}=0\\ \sqrt{3}{x_1}+2{z_1}=0\end{array}\right.$，
所以可取$\overrightarrow{n_1}=（{1，0，-\frac{{\sqrt{3}}}{2}}）$．…（9分）
同理可得平面PBC的一个法向量$\overrightarrow{n_2}=（{1，-\sqrt{3}，-\sqrt{3}}）$．…（11分）
所以$cos＜\overrightarrow{n_1}，\overrightarrow{n_2}＞=\frac{{\overrightarrow{n_1}•\overrightarrow{n_2}}}{{|{\overrightarrow{n_1}}||{\overrightarrow{n_2}}|}}=\frac{5}{7}$．
故二面角D-PB-C的余弦值为$\frac{5}{7}$．…（12分）

点评 本题考查面面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．