Question

4．有矩形铁板，其长为6，宽为4，需从四个角上剪掉边长为 x 的四个小正方形，将剩余部分折成一个无盖的长方体盒子，要使容积最大，则 x 等于（　　）

• A． $\frac{5-\sqrt{7}}{3}$
• B． $\frac{5+\sqrt{7}}{3}$
• C． $\frac{7-\sqrt{5}}{3}$
• D． $\frac{7+\sqrt{5}}{3}$

Answer 1

分析 长方体盒子的长为（6-2x），宽为（4-2x），高为x，容积V=（6-2x）（4-2x）x=4x³-20x²+24x，由此利用导数性质能求出要使容积最大的x值．

解答 解：长方体盒子的长为（6-2x），宽为（4-2x），高为x，
由于盒子的长宽高都为正数，所以6-2x＞0，4-2x＞0，x＞0，解得0＜x＜2
所以容积V=（6-2x）（4-2x）x=4x³-20x²+24x
要求V的最大值，求V的导数，并求导数的零点
V'=12x²-40x+24，令V'=0，解得x=$\frac{5±\sqrt{7}}{3}$，
由于0＜x＜2，所以取x=$\frac{5-\sqrt{7}}{3}$，
由于V'是开口向上的二次函数，x=$\frac{5-\sqrt{7}}{3}$是其左零点
所以当x＜$\frac{5-\sqrt{7}}{3}$时，V'＞0；x＞$\frac{5-\sqrt{7}}{3}$时，V'＜0，
即当x=$\frac{5-\sqrt{7}}{3}$时，V有极大值
∴要使容积最大，x=$\frac{5-\sqrt{3}}{3}$．
故选：A．

点评 本题考查正方形有边长的求法，考查长方体的体积的求法及应用，考查推理论证能力、运算求解能力、空间思维能力、空间想象能力，考查转化化归思想、数形结合思想，是中档题．